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Analytische Lösung der Koeffizientendynamik

In Abb. 2.7 ist die Entwicklung der Koeffizienten der stroboskopischen Abbildung für den van der Pol -Oszillator über der Stroboskopierzeit T dargestellt. Wie man deutlich sieht, ist die Dynamik glatt. Es ist nun naheliegend, zu versuchen, die Dynamik der Koeffizienten direkt aus der Differentialgleichung zu berechnen. In der Tat führt das Einsetzen eines Polynomansatzes (2.6) in (2.2) zu einem analytisch lösbaren System für die Koeffizienten [WEHL88].

  
Figure: Dynamik der Koeffizienten der ersten (links) und zweiten (rechts) Komponente der stroboskopischen Abbildung für den van der Pol -Oszillator (1.1) für . Gezeichnet sind alle Koeffizienten der Polynom-Entwicklung (2.6) mit und als Funktion von T.

Prinzipiell lassen sich durch die Lösung dieses Differentialgleichung ssystems alle Koeffizienten berechnen, die für eine Approximation der stroboskopischen Abbildung bis zu einer vorgegebenen Genauigkeit notwendig sind. Die Berechnung von Koeffizienten höherer Ordnung ist jedoch sehr mühsam. Es zeigt sich jedoch, daß ausreichend gute Ergebnisse erzielt werden können, wenn man nur bestimmte nichtlineare Koeffizienten berechnet, die sog. wichtigen Moden. Dabei handelt es sich um diejenigen Koeffizienten, deren Indexvektor auch Indexvektor eines Termes im Flußvektorfeld ist. Um eine weitere Genauigkeitssteigerung zu erreichen, kann man anstatt der Berechnung weiterer Koeffizienten auch den Restterm abschätzen, der beim Einsetzen einer Entwicklung der Stroboskop-Abbildung bis inklusive der wichtigen Moden in die Differentialgleichung übrigbleibt [WHMK92].

Die beschriebene Methode ist erweiterbar, um aus partiellen Differentialgleichung en stroboskopische Operatoren analytisch zu ermitteln [REL89,Rüc89].

Abschließende Bemerkung zur Berechnung stroboskopischer Abbildungen

Die Abschnitte 2.2.2 bis 2.2.4 zeigten drei Methoden, die die Berechnung der Koeffizienten von Polynomentwicklungen zulassen. Die entscheidende Annahme, daß die stroboskopische Abbildung sich überhaupt mit einer Potenzreihe mit wenigen nichtverschwindenden Koeffizienten approximieren läßt, wird durch den Erfolg der Methode bei klassischen Testsystemen wie dem Helmholtz- oder dem van der Pol -Oszillator gestützt.

. NORMALZEITTRANSFORMATIONEN


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Werner Eberl
Fri Apr 14 00:36:50 MET DST 1995