Eine Alternative zur numerischen Integration an vielen Gitterpunkten
ist die analytische Durchführung numerischer Verfahren mit Hilfe
von Computer-Algebra [EKH
87,EHML87].
Als Beispiel soll hier das Euler-Verfahren betrachtet werden; andere Verfahren wie das Runge-Kutta-Vefahren lassen sich jedoch problemlos in die Programme einbauen. Das Prinzip wird beim Euler-Verfahren deutlicher.
Der Zeitschritt T, über den integriert werden soll, wird aufgeteilt
in 
Schritte der Größe 
. Wenn 
genügend groß ist,
läßt sich der Differentialquotient in (2.7)
in einen Differenzenquotienten umschreiben:
Damit ergibt sich eine Iterationsvorschrift, die nun 
mal
hintereinander angewendet werden muß:
Ausgehend von 
erhält man als Ergebnis
die stroboskopische Abbildung 
.
Wenn die Funktion G nichtlinear ist, wächst der Grad des Polynoms für
exponentiell mit jeder Iteration an. Die einfachste Möglichkeit,
diesem Problem zu begegnen, nämlich das Weglassen aller Potenzen über
einem bestimmten Grad, hat beträchtliche Abweichungen zur Folge
[Bes84].
Approximiert man stattdessen nach jedem Schritt (vgl. Abb. 2.5)
das erhaltene Polynom durch eine Summe orthogonaler Polynome
bis zu einem vorgegebenen Grad 
in den Anfangsbedingungen
,
bleibt der zusätzliche Verfahrensfehler in den meisten Fällen
vernachlässigbar klein. Erst wenn die Stroboskopabbildung selbst so
kompliziert wird, daß sie sich nicht mehr durch ein Polynom niedriger
Ordnung beschreiben läßt, versagt auch dieses Verfahren. Während des
Programmlaufes kann man dieses Versagen daran erkennen, daß die
Koeffizienten der Terme höheren Grades plötzlich groß werden.
Figure 2.6: Trajektorien eines
van der Pol
-Oszillators 
; 
.
Durchgezogene Linie: Integration mit einem Runge-Kutta-Verfahren.
Gestrichelte Linie: Verbindungslinie zwischen aufeinanderfolgenden Zuständen,
berechnet von einer approximierten Stroboskopabbildung mit 
)
mit 
für 
( a) bzw. 
für
( b)
