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Anwendung zur Bestimmung einer zweidimensionalen Iterationsfunktion für den Helmholtz-Oszillator

  Untersucht wurde zunächst ein Helmholtz-Oszillator in einem Koordinatensystem, das keine speziellen Symmetrien besitzt.

 

ist der Zustandsvektor, die Reibungskonstante, und die Kreisfrequenz des Antriebs. Die Verschiebung um bewirkt nur eine Verlagerung des Attraktorschwerpunktes in die Nähe des Ursprungs.

Nachdem das Gebiet numerisch bestimmt wurde, das vom Attraktor der Schwingung mehr oder weniger dicht ausgefüllt wird, wurde eine Koordinatentransformation

 

vorgenommen, bei der eine zusätzliche Drehung bewirkt, daß diejenigen Gebiete des Phasenraums ausgeblendet werden, die zum Einzugsbereich des Attraktors bei gehören.

Die stroboskopische Abbildung wurde an Punkten des Gebietes numerisch bestimmt und durch ein Polynom vom Grad (3,3) approximiert (Tabelle 2.2). Die maximale Abweichung dieser approximierten Abbildung vom rein numerischen Ergebnis ist verhältnismäß ig klein, z.B. gilt für :

mit

  
Table: Stroboskopische Abbildung für den Helmholtz-Oszillator (2.10)

Bei Verwendung von Polynomen vom Grad (5,5) sinkt der maximale Fehler auf . Die chaotische Dynamik, die mit der approximierten Abbildung erhalten wird, stimmt gut mit den numerischen Ergebnissen überein, wie der Poincaré -Schnitt in Abb. 2.4 zeigt. Die numerische Integration [IMS84] über 1000 Oszillationen von benötigte 6 CPU-sec auf einer CYBER 975, während für die Berechnung der approximierten Stroboskop-Abbildung inklusive einer 1000-maligen Iteration nur 0.88 CPU-sec benötigt wurden.

 

Die offensichtliche Korrelation von und läßt sich ausnützen, um von der angegebenen zweidimensionalen Iterationsfunktion zu einer eindimensionalen zu gelangen [KEHL92].



Werner Eberl
Fri Apr 14 00:36:50 MET DST 1995