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Steuerung diskreter Systeme

Gegeben sei ein experimentelles System, dessen Dynamik durch eine Abbildung beschrieben werden kann:

 

Dabei sei der Zustandsvektor des Systems zum Zeitpunkt und die --- noch zu berechnende --- Steuerkraft, die bei appliziert werden soll. Falls eine stroboskopische Abbildung ist, gilt: , wobei T die Stroboskopierzeit ist.   Im Falle von Poincaré -Abbildungen sind die durch die Zeitpunkte des Durchstoßes der Trajektorie durch die Poincaré -Ebene gegeben.

Von der Eigendynamik des experimentellen Systems existiere ein Modell:  

 

Dieses Modell soll nicht zu schlecht sein, d.h. es soll gelten: . Zunächst soll der Einfachheit halber nur der Fall und behandelt werden; das Modell soll exakt sein. Die Auswirkungen von Abweichungen in den Modellparametern wird in [CHP89] diskutiert und im Abschnitt gif zur genauen Ermittlung der Modellparameter verwendet.

Die Wunschdynamik kann man ebenfalls als Abbildung definieren:  

 

Die Abweichung der Istdynamik von der Solldynamik muß für gegen Null streben, wenn die Steuerung stabil sein soll.

Die Wahl

für die Antriebskraft bewirkt offensichtlich eine Zerstörung der Eigendynamik des Systems und eine Etablierung der Wunschdynamik. wird dadurch bereits nach dem ersten Schritt exakt Null. In diese Steuerkraft geht aber noch ein, es ist also Rückkopplung notwendig.

Der rückkopplungsfreie Ansatz

führt zu einem gesteuerten System, dessen Abweichung folgender Iterationsgleichung gehorcht:

ist dabei offensichtlich ein Fixpunkt der Funktion , d.h. wenn das System einmal den Wunschzustand erreicht, wird es ihn auch beibehalten. Interessanter ist aber die Frage nach der Stabilität dieses Fixpunktes, also die Frage, ob eine erfolgreiche    Steuerung auch dann möglich ist, wenn der Anfangszustand des experimentellen    Systems unbekannt ist oder Rauschen vorliegt.

Lineare Stabilitätsanalyse liefert folgende hinreichende Bedingung für die Stabilität der Steuerunggif:



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Werner Eberl
Sat Apr 15 13:17:50 MET DST 1995