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Poincaré -Abbildungen

  Stroboskopische Abbildungen lassen sich zwar relativ gut berechnen, sind aber nicht die effektivste Methode zur Beschreibung autonomer Systeme ohne feste Eigenfrequenz.

Im folgenden betrachten wir Zustände , wobei das physikalisch relevante Gebiet des Zustandsraums ist.

 

Man definiert nun eine Hyperfläche , die immer transversal zu steht, für deren Normalenvektor also gilt: . Die Schnittpunkte der Trajektorien mit bilden einen sog. Poincaré -Schnitt des Systems (Abb. 2.2).  

Wählt man nur Schnittpunkte, bei denen die Trajektorie die Hyperfläche in einer bestimmten Richtung durchstößt, erhält man einen einseitigen Poincaré -Schnitt. Diese Variante wird meistens verwendet.  

Die Poincaré -Abbildung

 

des Systems ist die Dynamik der Punkte des Poincaré -Schnitts, also die Abbildung, die den nächsten Schnittpunkt als Funktion des vorigen angibt. Durch die Wahl der Poincaré -Fläche, also die Festlegung einer Variablen, reduziert sich die Dimension der Abbildung um eins auf m-1.

Bei den meisten Systemen lassen sich zusätzliche Korrelationen zwischen den verbleibenden Variablen angeben. Bei konservativen Systemen oder    Teilsystemen geschieht dies über die Ausnutzung der Erhaltungsgrößen. Bei dissipativen Systemen wird das Phasenraumvolumen oft derart stark     kontrahiert, daß die Dimension des Attraktors nur unwesentlich über m-1 liegt, die des Poincaré -Schnitts damit nur unwesentlich über m-2. Auf dem Attraktor läßt sich damit in guter Approximation eine weitere Variable eliminieren.

Somit lassen sich auch für chaotische Systeme (deren kontinuierliche Darstellung ja mindestens dreidimensional sein muß [GH83, S.44f.,]) eindimensionale Poincaré-Abbildungen angeben. Dabei ist das Hauptproblem die Umrechnung der Kontrollparameter des kontinuierlichen Systems in die Parameter der Abbildung.



Werner Eberl
Fri Apr 14 00:36:50 MET DST 1995