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Die Rüttelmaschine als nichtlineares System

Eine Kugel, die genügend hoch hüpft, landet mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf beiden Seiten der Trennwand. Hüpft die Kugel nicht so hoch, ist die Wahrscheinlichkeit größer, daß sie auf der gleichen Hälfte bleibt. Die Zahl der Teilchen, die pro Zeitintervall dt von links nach rechts hüpfen, ist das Produkt aus der Wahrscheinlichkeit für eine Kugel, dieses zu tun, multipliziert mit der Zahl der links liegenden Kugeln. Ist die Apparatur symmetrisch gebaut, muß gelten:

Es läßt sich nun eine Bilanz-Gleichung aufschreiben:

Fall I: p=const.

 

Diese Differentialgleichung ist linear und hat genau einen Wert für bzw. , für den die zeitlichen Ableitungen verschwinden, sich also ein stationärer Wert einstellt: . Dieser Fixpunkt der Differentialgleichung ist auch stabil, d.h. kleine Abweichungen von der Gleichverteilung verschwinden wieder.

Fall II: const.

 

Tatsächlich hängt aber p von der Zahl der Kugeln ab, die bereits auf einer Seite liegen. Liegen bereits viele Kugeln auf einer Seite, dann werden die Stöße viel stärker gedämpft, und die Wahrscheinlichkeit für einen Wechsel auf die andere Seite sinkt. Ist die Nichtlinearität genügend groß, wird der Fixpunkt instabil. Kleine Abweichungen von der Gleichverteilung verstärken sich dann immer weiter. Die Gleichung hat nun zwei neue, zusätzliche Fixpunkte, die beide stabil sind. Welcher von beiden erreicht wird, hängt von der exakten Anfangsbedingung ab.

LEITFÄHIGE TEILCHEN IM ELEKTRISCHEN FELD


Werner Eberl
Sat Apr 15 13:17:50 MET DST 1995