Stichpunkte zum Doppelpendel

Lineare Näherung:

Beim schwachen Anstoßen des Doppelpendels ergibt sich eine Schwebung, die sich mit klassischen Methoden gut beschreiben läßt.

Chaos:

Beim starken Anstoßen gelten die Näherungen nicht mehr, die Bewegung wird kompliziert, sieht chaotisch aus.

Versklavungsprinzip:

Eigentlich besteht eine vollständige Beschreibung der Dynamik des Pendels aus einem Satz von ca. Bewegungsgleichungen für jedes Atom oder ebensoviele Schwingungsmoden. Beim Antoßen des Pendels mit einem Hammer werden auch sehr viele Freiheitsgrade angeregt, die aber sehr schnell weggedämpft werden, sodaß dann eine Beschreibung mit zwei physikalischen Freiheitsgraden ausreichend ist.

Modellbildung:

Verdunkelt man den Raum, enthüllt das Pendel mit eingeschalteter Lampe und stößt es stark an, so sieht man eine chaotische Leuchtspur. Für Vorhersage oder Steuerung des Systems ist ein Modell für die Dynamik notwendig, das es zu ermitteln gilt. Schaltet man das Licht ein, folgt das Modell in dem Fall des Doppelpendels sofort aus der Anschauung und den Gesetzen der Mechanik starrer Körper. Im allgemeinen ist das ,,Lichteinschalten`` nicht möglich und man muß mit numerischen Methoden gute Modelle für die Dynamik ermitteln, die auch bei chaotischen Prozessen nicht unbedingt kompliziert sein müssen.

Sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen:

Läßt man das Pendel aus einer gestreckten Lage, etwa gegen das Lot geneigt, mehrere Male los, so sieht man eine Bewegung, die anfangs fast gleich aussieht, aber nach einigen Umläufen stark differiert. Man merke sich jedesmal z.B. die Reihenfolge der Drehsinne der Rotationen des zweiten Pendelarms.

Vorhersagezeitraum:

Beim realen Doppelpendel ist eine Langzeitvorhersage trivial: Nach genügend langer Zeit erreicht das Pendel aufgrund der Reibung seine stabile Ruhelage. Kurzzeitvorhersagen sind aufgrund der Bewegungsgleichungen des Doppelpendels möglich. Für ein sog. mathematisches Doppelpendel mit Pendellängen und , Pendelmassen und , Winkeln und und Erdbeschleunigung g lauten diese:

Mittelfristige Aussagen, etwa ob der fünfzehnte Überschlag des zweiten Pendels links- oder rechtsherum sein wird, sind aufgrund der schnellen Verstärkung kleiner Abweichungen in den Anfangsbedingungen nicht möglich.