Definitionen

Attraktor

Die Menge der Punkte im Zustandsraum, die nach unendlich langer Zeit noch von Trajektorien erreicht werden, nennt man Attraktor des Systems.

Bifurkation

Eine Bifurkation ist das plötzliche Auftreten einer qualitativ anderen Dynamik bei langsamer Veränderung eines Kontrollparameters.

Chaosforschung

Die Chaosforschung beschäftigt sich mit nichtlinearen Modellen und mit Systemen, für die gezeigt werden kann, daß für diese lineare Modelle unzureichend sind, mit der Ermittlung von Modellen für diese Systeme. Zusätzlich werden allgemeine Prinzipien nichtlinearer Dynamik und Kriterien für sinnvolle Fragestellungen an komplexe Systeme gesucht.

Dendrit

Dendriten sind baumartig verzweigte Gebilde.

Deterministisches Chaos

D.C. ist das scheinbar regellose dynamische Verhalten von Systemen. Obwohl die zeitliche Entwicklung des Systems durch feste Regeln determiniert ist, sind mittel- bzw. langfristige Vorhersagen des Verhaltens aufgrund der sensitiven Abhängigkeit von Anfangsbedingungen nicht möglich.

Differentialgleichung

Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Vorschrift, die angibt, in welche Richtung sich ein Zustand im infinitesimal nächsten Zeitschritt entwickelt

diskretes Modell

Bei diskreten Modellen werden statt kontinuierlichen Variablen für Zeit, Raum und/oder die Zustandsgrößen diskrete Variablen verwendet. Diskrete Modelle für nichtlineare Dynamik sind z.B. stroboskopische Abbildungen , diskrete Modelle für Dynamik in Raum und Zeit sind z.B. zelluläre Automaten.

dissipatives System

System mit Reibung oder Dämpfung. Diese Systeme haben (mindestens) einen Attraktor. Gibt es genau einen Attraktor, dann spielt die Anfangsbedingung für das globale Verhalten der Dynamik der Systems keine Rolle.

Fixpunkt

Punkt im Zustandsraum, der nicht verlassen wird, wenn er einmal exakt erreicht wurde. Bei stabilen Fixpunkten nähern sich die Trajektorien immer weiter an den Fixpunkt an. Das Kriterium für Fixpunkte bei Differentialgleichungen () ist , bei Abbildungen () gilt:

Interdisziplinäre Chaosforschung

Die betrachteten Systeme stammen aus allen Gebieten der Wissenschaft und des täglichen Lebens, für die quantitative Modelle für deren Dynamik sinnvoll erscheinen. Die Bewertung von mathematischen Methoden und Begriffen geschieht in enger Zusammenarbeit mit den Anwendungsdisziplinen.

Nichtlinearität

Ggs. zu Linearität. Lineare Systeme verhalten sich qualitativ gleich, wenn die Zustandsvariablen um einen beliebigen konstanten Faktor vergrößert oder verkleinert werden. Lineare Systeme haben keine charakteristische Größe für die Zustandsvariablen.

NP-hartes Problem

NP-harte Probleme liegen vor, wenn man beweisen kann, daß die Zahl der benötigten Rechenoperationen für eine algorithmische Lösung bei einem beliebig herausgegriffenen Beispielproblem stärker als durch eine Polynom-Funktion beschreibbar mit der Komplexität der Problemstellung (=Zahl der Unbekannten, Dimensionen, etc.) anwächst.

Rauschen

Sammelbegriff für alle nicht näher auflösbaren und daher nur statistisch zu beschreibenden dynamischen Vorgänge. Es gibt Meßrauschen (statistische Meßfehler), Systemrauschen (nicht betrachtete Freiheitsgrade) und externes Rauschen (z.B. Straßenbahn). In welchen Fällen nicht dominante Freiheitsgrade als Systemrauschen und wann als Zustandsvariablen behandelt werden sollen ist ein typisches Problem der Chaosforschung.

Resonanzspektroskopie

Bei der R. wird ein System hintereinander mit verschiedenen Signalen angeregt, wobei sich die Signale durch einen Parameter unterscheiden. Tritt bei einem Parameterwert ein außerordentlich hoher Response auf, ist dieser Wert charakteristisch für die Eigendynamik des Systems.

Trajektorie

(=Bahnkurven.) Die Menge von Punkten im Zustandsraum, die nacheinander von der Dynamik des Systems erreicht werden.

zellulärer Automat

Ein zellulärer Automat ist ein Kristall aus Zellen, deren diskrete Zustände sich zeitlich verändern. Der Zustand im nächsten Zeitschritt ergibt sich durch eine deterministische Regel aus dem alten Zustand und dem Zustand der nächsten (evtl. auch übernächsten) Nachbarzellen.

Zustandsraum

Raum, der von den Zustandsvariablen des Systems aufgespannt wird. Die Zustandsvariablen sind ein Satz von Zahlen, durch den der Zustand des Systems eindeutig beschrieben wird. Kann man nicht alle realen Zustandsvariablen messen, verwendet man als Ersatzvariablen Zeitableitungen oder zeitverzögerte Zustandsvariablen.