Doch wann kann man keinen Unterschied mehr zwischen zwei Iterationen feststellen? D.h.wann ist der Unterschied zwischen zwei Bildern klein genug? Sicherlich dann, wenn die Darstellung ihre Auflösungsgrenze erreicht hat, d.h. wenn eine weitere Iteration keine neuen Details mehr zeigen kann, denn diese liegen dann innerhalb der Pixelgröße.

Der Unterschied zweier Bilder läßt sich auch mathematisch ausdrücken. Dazu wird der Hausdorff-Abstand zweier Punktemengen definiert,worauf hier nicht weier eingegangen werden soll. [ Peitgen,Fraktale..., S. 321]
Damit nach genügend vielen Iterationen der Abbildung der Abstand zweier Bilder möglichst klein ist, muß die Funktion eine grundlegende Bedingung erfüllen: Sie muß die Ausgangsbilder verkleinernd auf die Kopie abbilden. In mathematischer Ausdrucksweise heißt das: Die Abbildung ist kontrahierend, also zusammenziehend.

Wenn das Bild schließlich invariant unter der Abbildung bleibt, so ist das Endbild, der sogenannte Attraktor, erreicht. Der Attraktor unserer Abbildung ist die Koch- Kurve.

Wie sieht nun konkret so ein IFS für ein klassisches Fraktal aus? Man findet die Parametera,b,c,d,e und f, d.h. den Code, für ein IFS, dann sehr einfach, wenn man die Abbildungsvorschrift des Fraktals kennt. Dies ist auch bei dem folgenden Beispiel, dem Farn von Abb. 2 der Fall. Barnsley codiert ihn durch nur vier Transformationen wi, indem er wiederumdie Selbsähnlichkeit des Farns ausnutzt. In der Tab.1 sind die Parameter a,b,c,d,e und f für das IFS des Barnsley-Farns zusammengestellt. Die Parameter a-d bedeuten hier die Stauchungen und Drehungen, Die Parameter e und f die Verschiebung des Bildes auf seinen neuen Platz.

Abb.2: Barnsleys Farn

Tab. 1: Die Parameter für das IFS des Barnsley-Farns [Peitgen, Fraktale...S.306]

Die Abbildungsmaschine von Peitgen, Jürgens und Saupe würde auch hier mit nur 4 Linsen für die vier Transformatonen wi arbeiten. Die Transformationen 1 und 2 sind jeweils nur eine Drehung mit Verkleinerung, Transformation 3 hat zusätzlich eine Spiegelung und die 4. Ist eine Stauchung in nur eine Richtung , so daß als Stil des Farns nur ein Strich übrigbleibt.

Um das Bild nun aufzubauen, braucht man die Abbildungsmaschine nur wiederholt mit einem beliebigen Anfangsbild laufen zu lassen. Als Anfangsbild soll hier ein Rechteck dienen.

Die erste Iteration sieht man auf der Abbildung Nr. 3. Hier ist das Grundgerüst zu sehen, an dem man erkennt, wie die Transformationen wirken. Diesen Bauplan kann man auch umgekehrt dazu nutzen, den Code für das Bild zu finden, bzw. zu errechnen. Dies geschieht, indem man zuerst dieses Grundgerüst aus dem Endbild von Hand zeichnet, aus dem sich dann die Transformationen ableiten lassen. Man findet dieses Grundgerüst, indem man selbstähnliche Strukturen sucht, wie die untersten Blätter und der Stil ( indirekt ist er auch selbstähnlich) und eine Karte aus diesen transformierten Abbildungen der gesamten Struktur zusammensetzt. der Code errechnet sich dann aus den Transformationen, die für diese Abbildungen nötig waren.

Die Abbildung Nr. 4 zeigt den Barnsley- Farn nach 5 bzw. nach 10 Iterationen. Man kann das Grundgerüst sehr gut erkennen, und wie das Anfangsrechteck mit zunehmender Zahl der Iterationen immer kleiner wird und mehr Details des Farns sichtbar werden.

Abb. 3. Grundgerüst des Barnsley- Farns.

Abb. 4: Die 5. und 10. Iteration des IFS.

Im Folgenden seien noch einige weitere Beispiele für ein IFS zusammen mit ihren Attraktoren (Das Endbild, das durch eine weitere Iteration nicht mehr verändert wird) gezeigt. Die Tabelle 2 gibt die zugehörigen Parameter für die Transformationen der IFS an. Damit lassen sich die folgenden Bilder erzeugen:

Abb. 5: Eine Schneeflocke, zusammengesetzt aus vier Abbildungen.

Abb. 6 : Ein Baum, bestehend aus fünf Transformationen.

Die dreieckige Schneeflocke ist aus 4 Transformationen zusammengesetzt, wobei drei davon nur eine Schrumpfung in beiden Richtungen um den Faktor 0.255 und eine Verschiebung enthalten. Die vierte Transformation besteht aus einer Drehung und einer Schrumpfung um den Faktor 0,37.

Das IFS des Baumes wiederum setzt sich aus 5 Transformationen zusammen, und sie entwerfen ein erstaunlich wirklichkeitsnahes Bild.

Die Geometrischen Figuren in Abb. 8 zeigen, daß nicht alle Objekte durch ein IFS gut dargestellt werden können: Der Kreis, wenn er mit IFS codiert wird, ist nicht exakt. Man kann ihn mit dieser Methode nur annähern.

Abb. 7 : Fünf Ähnlichkeitstransformationen für eine fünfeckige Schneeflocke

Abb. 8 : Die Darstellung geometrischer Figuren mit einem IFS. Der Kreis ist mit vier Transformationen nur mangelhaft darstellbar

Tab.2: Die Parameter des IFS für die obigen Abbildungen [Peitgen, Fraktale...S.350]

1.3. Kompression und "unendlicher" Zeitaufwand -
das Problem des Codierens

Um wieviel läßt sich die Datenmenge komprimieren, wenn ein Bild - hier ein klassisches Fraktal - mit IFS codiert wird?

Am Beispiel des Baumes aus dem vorherigen Kapitel ( Abb.6) kann man die Kompression der Datenmenge,d.h. das Kompressionesverhältnis errechnen. Das Kompressionesverhältnis bedeutet das Verhältnis von gespeicherter Datenmenge ohne Codierung zu der Datenmenge mit codierung. Die Datenmenge eines Bildes ohne Codierung mit n x m Pixeln beträgt 8 x n x m bit, wenn für jedes Pixel ein gespeicherter Grauwert in einem 8-bit Wort (256 Graustufen) abgespeichert wird, bzw. nur nxm bit für ein Bild mit nur schwarzen und weißen Objekten. Das mit IFS codierte Bild dagegen benötigt nur die Datenmenge für die sx6 Parameter, die die s Transformationen w(P) mit ihren 6 Parametern festlegen. Bei dem Baum ist s = 5. Wenn man eine reelle Zahl mit einem 32- bit-Wort speichert, dann braucht man für das gesamte Bild 5x6x32 bit = 960 bit. Das Kompressionsverhältnis bei einem 1000x1000 Pixel großem Bild ist also von der Größenordnung 8x1000x1000 / 960 = 8300 oder für reine s-w-Bilder ca. 1000. Der Baum wird unter IFS also um das 1000-fache der ursprünglich zu übertragenden Datenmenge komprimiert.

Eine solch phantastische Kompression ist natürlich nur möglich, wenn eine einfache Abbildungsvorschrift mit möglichst wenigen Transformationen vorliegt. Komplexere Bilder können verständlicherweise nicht nur mit einigen wenigen Transformationen "errechnet" werden, sie sind ja nicht in allen ihren Teilen sich selbst ähnlich.

Mit diesen komprimierten Daten kann man nun mit einem Computer das codierte Bild decodieren und sichtbar machen. Man muß dem Computer nur ein beliebiges Anfangsbild und das IFS eingeben. Der Attraktor ist dann unabhängig vom gewählten Anfangsbild, denn bei jedem weiteren Durchgang der Abbildungsmaschine wird das Ausgangsbild immer weiter verkleinert, bis es schließlich Pixelgröße erreicht hat und nicht mehr zu erkennen sind. Das Endbild (der Attraktor) bleibt also für ein IFS immer das gleiche.

Die nächste Frage ist: Wie oft muß die Maschine die Abbildungsvorschrift wiederholen, d.h. wie viele Iterationen sind notwendig, um das Bild gut genug darzustellen?

Nimmt man an, daß im Endbild kein Anfangsbild mehr zu erkennen sein soll, z.B. ein Rechteck (vgl. der Farn auf Abb.3), so müssen hier die Anfangsrechtecke die Größe eines Pixels erreichen. Peitgen, Jürgens und Saupe führen sehr schön vor, wie lange ein Computer rechnen muß, um das zu erreichen [ Peitgen, Fraktale....S. 311]: nämlich 10 hoch 10 Jahre!

Das Problem der Datenübertragung hat sich also zu einem Problem des Bildaufbaus im Computer verschoben.

Offenbar ist das IFS doch noch eine etwas unzureichende Methode der Bildcodierung. Um die Rechenzeit zu verkürzen, kann man entweder die Transformationen ändern (z.B. für jedes Pixel eine eigene Funktion). Damit ist aber nichts erreicht. Oder man versucht, von dem Anfangsrechteck abzugehen und das Anfangsbild dem Endbild anzunähern. Doch dann muß dieses Anfangsbild ebenfalls abgespeichert werden, was wiederum die Datenmenge erhöht. Dies sind beides nicht zufriedenstellende Methoden.

Diese Probleme des Bildaufbaus lassen sich aber dennoch durch Umwandlung des Algorithmus' ( statt Rechtecke werden dann nur Punkte gezeichnet) in den Griff bekommen. Doch diese Algorithmen sollen hier nicht weiter besprochen werden.

1.4. Codieren eines Bildes

Wie man ein Bild mit IFS speichern und mit Computerprogrammen decodieren kann, wurde bereits gezeigt. Doch wie findet man den richtigen Code d.h. die Parameter der Transformationen für ein erwünschtes Fraktal? Dies ist das Problem des Codierens.

Abb. 9 : Eine Ähnlichkeitstransformation eines Ahornblatts.

Bei etwas komplexeren Bildern, die aber immer noch einen gewissen Teil an Selbstähnlichkeit besitzen, kann man eine andere Methode anwenden, um den Code zu finden: Die Collage. Damit lassen sich auch nicht-fraktale Bilder erzeugen. M.F. Barnsley beschreibt diese Methode in seinem Buch [Barnsley,Fraktale,S.108ff].

Der Trick besteht darin, das Zielbild mit mehreren verkleinerten und verzerrten (sprich transformierten) Abbildungen seiner eigenen Kontur zu überdecken. Beim Farn würde also ein Mehreck, das den Farn umschließt, verkleinert, und dann mehrmals auf seinen eigenen Umriß abgebildet, solange, bis der Farn von seinen eigenen Verkleinerungen vollkommen überdeckt ist. (vgl.Abb. 10)

Diese Methode läuft nicht automatisch , der Computer braucht noch einen Menschen, der den Umriß des eingescannten Bildes festlegt, dann den Polygonzug mit der Maus oder der Tastatur transformiert ( mit Graphikprogrammen heute kein Problem) und an die richtige Stelle postiert. Hat man schließlich das Bild vollständig überdeckt, so liefert der Computer die Parameter der ausgeführten Transformationen und der Code des IFS ist gefunden. Man kann dann das Bild mit einem beliebigem Anfangbild wieder dekodieren. Auf Abb.11 ist die Collage eines Blattes, die aus vier Transformationen seines Umrisses besteht, zusehen. Der Attraktor ist ein Ahornblatt.

Abb. 11 : Collage eines Blattes: der Umriß des Blattes wird mehrmals transformiert und auf seinen eigenen Umriß abgebildet, bis das Blatt vollständig überdeckt ist.

Abschließend zum ersten Kapitel sei noch bemerkt, daß sich viele weitere, nicht unbedingt fraktale Objekte durch einen umgeänderten Algorithmus darstellen lassen.Man kann das IFS etwa auch auf 3 Dimensionen erweitern und erhält damit plastische Objekte. Auch kann man einen Algorithmus entwerfen, der unterschiedliche Transormationen anwendet: beim 1. Durchlauf ein erster Satz von Transformationen w , beim 2. dann einen anderen w , danach folgt wieder der erste usw. Das Ergebnis ist auch ein Fraktal, doch es ist sich nicht in allen seinenTeilstücken komplett ähnlich, sondern es decken sich nur bestimmte Vergößerungen mit dem gesamten Bild.

So erhält man ein großes Spektrum von Fraktalen, die sich mit IFS darstellen lassen. Doch wie bereits das Beispiel des Kreises (siehe Abb. 8) gezeigt hat, ist diese Methode nicht immer optimal für die Speicherung sämtlicher Objekte.

Was sich Y. Fisher (Yuval Fisher's Fractal Image Encoding Page) hat einfallen lassen, um ganz gewöhnliche Photos oder Bilder zu codieren, und damit zu komprimieren, wird das Thema des 2. Kapitels sein. [Peitgen, Fraktale...S.473ff]

2. Kompression von digitalisierten Bildern

2.1. Eine Abbildungsmaschine für beliebige Bilder

Im ersten Kapitel wurde gezeigt, wie man zunächst klassische Fraktale und später auch fraktal-ähnliche Bilder mit der Collagemethode mittels IFS codieren kann. Alle Bilder waren in gewisser Weise selbstähnlich. Doch was, wenn man ganz ordinäre Bilder codieren will?

Viele natürliche Objekte wie Berge, Seen, Pflanzen enthalten Teile, die selbstähnlich sind, z.B. die Wellen der Seeoberfläche oder die Äste und Zweige eines Baumes, und diese Ähnlichkeiten werden zur Komprimierung auch ausgenutzt. Doch eine Katze, Maus oder ein Portrait haben wenig mit den bisher verwendeten und codierten Bildern gemeinsam. Hier behilft man sich - das ist das Kernstück der Codierung - mit der Suche nach selbstähnlichen Teilen der Figur. Anstatt Abbildungen des Ganzen auf eine Kopie zu plazieren, wird hier ein Bild aus Teilen des Ganzen aufgebaut. Diese Methode ist komplizierter und soll daher nur prinzipiell erklärt werden.

Fast in jedem Objekt findet man Stellen, die sich ähneln, wie gerade und gebogene schwarz-weiß-Kontraste, dünne dunkle Linien vor hellem Hintergrund, oder einfach graue Bereiche. In Abb. 12 , "Lenna " , sind einige solcher selbstähnlicher Bereiche gezeigt.

Abb. 12 : Sich ähnelnde Bereiche in "Lenna"

Wie baut sich nun ein Bild auf, wenn der Code bereits bekannt ist? Wie sieht der Mechanismus beim Decodieren aus?

Dazu wird eines dieser ähnlichen Stücke herausgegriffen (bisher wurde das ganze Bild herausgegriffen), transformiert, und an einer bestimmten Stelle der Kopie wieder abgebildet, die der ersten eben nun mal ähnlich sieht. Und nicht jedes einzelne Teilstück des Endbildes muß auch ein Anfangsbild einer Transformation sein. Man legt also eine Art Maske an, die die Abbildungsvorschrift wi auf einen gewissen Teil Di des Gesamtbildes einschränkt. Nur dieser Teil des Bildes wird unter wi transformiert und auf der Kopie als Ri abgebildet.

Auch diese Maschine arbeitet in einer Rückkopplungsschleife, d.h. dieser Vorgang wiederholt sich.

Abb. 13: Die "Fliege"

Ebenso kann auf den Bereich, der als Urbild Di diente, ein anderes transformiertes Bild Rj abgebildet werden . In der nächsten Iteration ist dann eben diese Abbildung Rj das neue Urbild Di, das mit wi wieder transformiert wird. Auf den Platz von Di tritt wiederum das Bild der Abbildung Rj. Auf diese Art wird auf mehrere Teilstücke Einfluß genommen.

Des weiteren muß natürlich jedes Stück aus dem gesamten Bild ein Endbild Ri sein, so daß sie ein komplettes Endbild ohne Lücken ergeben. Ein einfaches Beipiel für diese Methode zeigt Fisher in Abb.13.

Hier liegen 8 Transformationen vor w1 ....w8 , die jeweils die eine oder andere Hälfte des Bildes als Urbild Di haben. Aber ihre Abbildungsbereiche liegen verstreut in den Teilbereichen R1...R8. Man erkennt, daß auch die Urbildbereiche D1=2=3=4 und D5=6=7=8 mehrfach verwendet werden können. Auch wird jeder Urbildbereich bei jeder Iteration aufs Neue verändert. Der Attraktor ist hier stets eine Fliege. Man sieht an diesem Beispiel, wie sich mit jeder weiteren Iteration immer mehr Details bilden. Da die Bildbereiche Ri kleiner gewählt sind als die Urbildbereiche, werden die Strukturen immer kleiner und daher das Bild detaillierter.

Nun bestehen aber reale Bilder nicht nur aus Schwarz-weiß-Details, sie enthalten ebenso graue Flächen oder Verläufe ( der Einfacheit halber beschränkt man sich hier auf s-w-Bilder. Farbige Objekte lassen sich mit Erweiterungen des Algrithmus' auch herstellen. Dies soll aber hier nicht gezeigt werden.).

Das Bild wird deshalb als Graph einer Funktion von Grauwerten beschrieben. Man kann sich diese Funktion f(x,y)=z (=Grauwert) als ein Gebirge vorstellen, das sich über den Bildkoordinaten (x,y) aufbaut. Je höher das Gebirge, desto heller der Pixel an dieser Stelle. (S. Abb. 14).

Abb. 14 : Ein Bild als Graustufenfunktion

Um die Graustufen in der Abbildungsvorschrift des Funktionensystems ebenfalls abspeichern zu können, und auch die Grauwerte eines Bildbereichs mit der Transformation verändern zu können, werden im Funktionensystem neue Parameter eingeführt: s und o für Kontrast und Helligkeit. Die Transformation wi wird also um eine Dimension erweitert und sieht dann so aus:

Das gesamte IFS hat dann die folgende Form:

P ist in diesem Falle das gesamte Anfangsbild, das dieselbe Größe wie das gesamte Endbild hat. Die Transformationen wi wirken auf verschiedene Teile Di des Anfangsbildes, die sich auch überlappen können und größer oder gleich dem Abbildungsbereich Ri sein können. Die gesamte Abbildungsvorschrift W wird nun wiederholt angewendet, bis das Endbild erreicht ist. Dieses wird dann der Attraktor des IFS, oder auch Fixpunkt genannt, da es unter der Abbildung W unverändert, also fix bleibt.

Wie oft muß nun die Abbildung W wiederholt werden, d.h. wie viele Iterationen sind notwendig für ein gutes Bild?

Dafür muß solange solange iteriert werden, bis sich die entstehenden Bilder W(P) nicht mehr unterscheiden.

Um den Unterschied zweier Bilder zu messen, wird auch hierfür mathematisch der "Abstand " zwischen zwei Bildern bestimmt. Das ist dann der Unterschied zwischen den Werten der Graustufenfunktion f(x,y). (Tatsächlich berechnet man nicht die Differenz der Werte f(x,y) nach n Schritten und f(x,y) nach n+1 Schritten, sondern wendet die Methode der kleinsten Quadrate an).

Bei jedem Durchlauf der Abbildungsmaschine (bei jeder weiteren Anwendung der Abbildungsvorschrift) nähert sich das Bild seinem Attraktor an. Dieser Attraktor wird zwar nicht genau das Originalbild darstellen, doch es wird eine gute Näherung sein. So hat der Attraktor beispielsweise nicht die gewohnte Pixelstruktur mit einem gleichen Grauwert über den gesamten Pixel. Vielmehr ist ja ein Bildbereich Ri aus transformierten Urbildbereichen entstanden, so daß hier auf der Größe eines Pixels auch verschiedene Grauwerte zu finden sind, wenn man beide Bilder vergrößert.

Hier zeigt sich eine erstaunliche Eigenschaft der mit IFS decodierten Bilder:

Sie sind unabhängig von der Auflösung. Bei jeder Vergrößerung wird das decodierte Bild Details zeigen, die von den Transformationen erzeugt worden sind. Die erzeugten Details sind natürlich nicht immer identisch mit den tatsächlichen Details; man wird z.B. keine Hautporen oder gar Zellen erkennen können. Doch bis zu einem gewissen Grad der Vergrößerung (der nicht sehr groß ist), sind die erzeugten Details sehr wirklichkeitsnah. In Abb.15 ist bei 4-facher Vergrößerung im nicht codiertem Bild noch Pixelstruktur zu erkennen, im codierten dagegen findet man gleichmäßige Übergänge.

Abb. 15 : Lenna mit und ohne IFS Codierung

Wegen dieser Eigenschaft hängt auch das Kompressionsverhältnis von der Vergrößerung, d.h. vom Maßstab der Decodierung ab. Wenn ein Bild in doppelter, vierfacher usw. Größe decodiert wird, so wächst das Kompressionsverhältnis auf das 4-, 16- usw. -fachen an. Denn um das nicht komprimierte Bild in demselben vergrößertem Maßstab zu speichern, ist die 4-, 16- usw. fache Menge an Pixeln nötig. Das Kompressionsverhältnis variiert also stark, aber es ist nicht sinnvoll, nur auf möglichst große Kompressionsverhältnisse zu achten. Das decodierte Bild büßt mit jeder Vergrößerung Genauigkeit ein und könnte im Extremfall sehr verzerrt wirken. Man muß sich also auf einen Kompromiß zwischen Kompression und Effizienz einlassen.

2.2. Bildcodierung - Auffinden des Codes mit einem Algorithmus

Wie findet man den richtigen Code, d.h. die richtigen Parameter für die Codierung? Dazu ist es nötig, die richtigen Urbildbereiche Di, ihre entsprechenden Abbildungsbereiche und die zugehörige Transformation wi zu bestimmen. Das Wichtigste ist das Auffinden der Urbildbereiche Di oder andersherum das Finden der Bildbereiche Ri .

Dies geschieht mit einem Algorithmus, der verschiedene Teilbereiche auswählt und sie miteinander vergleicht. Die Ähnlichsten ergeben jeweils den Bildbereich Ri und das Urbild Di:

Hier soll nur der Mechanismus, wie das geschehen kann, dargestellt werden. (Für die nötige Effizienz des Alorithmus sind einige Modifikationen möglich und auch nötig.)

Ein Quadratisches Bild wird rekursiv in 4, 16, usw. Teilquadrate zerlegt, bis die Quadrate die Größe von 32x32 Pixeln erreicht haben. Dann stellt man sich eine Kollektion von allen möglichen Teilquadraten D zusammen, die die Größen 8x8, 12x12, 16x16,24x24, 32x32, 48x48 und 64x64 Pixeln besitzen. Nun wird ein erstes 32x32 Pixel-bild Ri mit allen größeren oder gleich großen Teilquadraten D verglichen. Man beachte, daß ein Urbild auch größer sein kann. In diesem Fall muß der Grauwert über die entsprechenden Pixel des Urbildes gemittelt werden, um ein Bild der gleichen Größe wie Ri zu erhalten (z.B. wird bei einem 48x48 Urbild der Wert über 4 Pixel gemittelt, der dann mit dem entsprechendem Wert des Ri -Pixels verglichen werden kann). Haben die Bilder einen gewissen Mindestabstand, sind sie sich also ähnlich genug, so ist eine Paarung (Di ,Ri ) gefunden. Wenn nicht, so wird das 32x32-Pixel Bild in weitere vier 8x8- Pixel Bilder zerlegt, die dann wiederum mit allen größeren oder gleich großen Urbildern D aus der Kollektion verglichen werden.

Auf diese Weise wird ein Bild rekursiv in immer kleinere Teilbereiche Ri zerlegt, bis alle Urbilder gefunden sind. Die rekursive Unterteilung der Ri nennt man auch Quadtree- Methode .

Die entsprechende Transformation wi , die Di in Ri überdührt, wird dann von beiden Bildern Di und Ri selbst bestimmt. Denn es gilt:

Ri = wi (Di) = wi (x,y,z) = (u,v,t).

Damit lassen sich alle Parameter a,b,c,d,e,f,s und o festlegen. Somit ist die Transformation W(P) gefunden, mit der der komplette Bildbereich codiert werden kann.

Zur Decodierung muß man die Abbildung W auf ein beliebiges Anfangsbild P anwenden. Jeder Urbildbereich Di wird dann transformiert und auf seinen entsprechenden Bildbereich Ri abgebildet.

Abb. 16: Lenna nach der 1. , 2. und 10. Iteration

In Abb.16 ist ein Anfangsbild (ein einfaches Raster ), die erste, zweite und 10. Iteration zu sehen. Hier waren Bild- und Urbildbereiche Ri und Di , welche zu vergleichen waren, mit einer festen Größe gewählt. (Di: 16x16 Pixel, Ri: 8x8 Pixel). Nach der ersten und zweiten Iteration kann man noch etwas von dem Raster erkennen. Bei jeder Iteration erscheinen neue Einzelheiten, nach der erste in der Größe 8x8, nach der zweiten in der Größe von 4x4 Pixeln usw. Die 10. Iteration sieht bereits dem Original (siehe Abb. 12) sehr ähnlich. Nur für die Augen war es offenbar schwierig, geeignete Urbildbereiche und Transformatonen zu bestimmen, da sie in dem Bild anscheinend einzigartig sind und keine Ähnlichkeit mit anderen Bildteilen zu finden ist.

Der Hund in Abb.17 ist mit der Quadtreemethode codiert, die Augen sehen viel runder aus, da kleinere Bildbereiche gewählt werden konnten.

Abb. 17: Der Hund mit Quadtreemethode Codiert.

Hier zeigt sich, daß die Fraktale Bildkompression eine sehr gute Methode zur Datenreduzierung ist. Es existiert bereits kostengünstige kommerzielle Software wie Images Incorporated, das von Iterated Systems angeboten wird.

Auf der www-Seite http://www.iterated.com findet man Informationen und Demos.

Weiter sei noch ein sehr chönes und verständliches Buch von Michael F. Barnsley empfohlen, in dem viele Illustrationen den Text veranschaulichen:
Michael F. Barnsley, Lyman P. Hurd: Bildkompression mit Fraktalen, Vieweg GmbH Braunschweig/Wiesbaden ,1996

Literaturverzeichnis

[Peitgen, Fraktale...]:

Peitgen, H.-O.; Jürgens,H.;Saupe, D. :
Fraktale, Bausteine des Chaos, Berlin, NewYork 1992

[Peitgen, Chaos...]:

Peitgen, H.-O.; Jürgens,H.;Saupe, D. :
Chaos: Bausteine der Ordnung, Berlin,1994

[Barnsley, Fraktale...]:

Barnsley,M.: Fraktale:
Theorie und Praxis der Deterministischen Geometrie, Heidelberg, Berlin, Oxford 1995.

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1 : Peitgen, Chaos.....S.519

Abb. 2 : Peitgen, Fraktale ... S. 305

Abb. 3 : - " - S. 306

Abb. 4 : - " - S. 310

Abb. 5 : - " - S. 290

Abb. 6 : - " - S. 291

Abb. 7 : - " - S. 290

Abb. 8 : S. 291

Abb. 9 : Barnsley, Fraktale,.. S. 60

Abb. 10 : Peitgen, Fraktale... S. 332

Abb. 11 : - " - S. 333

Abb. 12 : - " - S. 478

Abb. 13 : - " - S. 480

Abb. 14 : - " - S. 476

Abb. 15 : - " - S. 474

Abb. 16 : - " - S. 487

Abb. 17 : - " - S. 488