Poincaré-Abbildungen sind niederdimensionaler und besitzen in vielen Fällen eine erheblich einfachere Struktur als das zugehörige kontinuierliche System und lassen sich leicht mit digitalen Rechenanlagen integrieren. In dieser Arbeit werden neuartige Approximationsverfahren vorgestellt und experimentell getestet, mit denen aus Differentialgleichungen und Zeitreihen physikalisch relevanter kontinuierlicher Systeme diskrete Abbildungen bestimmt werden können, welche die wesentlichen Symmetrien der Originaldynamik wiedergeben und sich zur Vorhersage und Steuerung eignen.
Es wird untersucht, bei welchen Klassen von Differentialgleichungen für die zugehörigen Poincaré-Abbildungen eine besonders einfache Struktur zu erwarten ist. Es zeigt sich, daß derartige Differentialgleichungen so tranformiert werden können, daß für das transformierte Differentialgleichungssystem Poincaré-Abbildungen spezielle stroboskopische Abbildungen sind. Es wird gezeigt, daß sich damit stroboskopische Abbildungen wesentlich vereinfachen. Algebraische und numerische Approximationsmethoden zur Bestimmung von Poincaré-Abbildungen werden dadurch erheblich vereinfacht.
Ferner wird gezeigt, daß sich mit dosiert-asynchronen diskreten Abbildungen Gittereffekte vermeiden lassen und damit raum-zeitliche kontinuierliche dynamische Systeme mit Rauschtermen besonders gut modelliert werden können.
Zeitreihen physikalischer Systeme sind mit Rauschen behaftet. In dieser Arbeit wird eine Methode vorgestellt, die es ermöglicht, aus rauschbehafteten Zeitreihen jene Abbildungen zu ermitteln, für die der Vorhersagefehler minimal wird.
Es wird experimentell und theoretisch gezeigt, daß es möglich ist, kontinuierliche Systeme mit Hilfe von rekonstruierten diskreten Abbildungen rückkopplungsfrei zu steuern. Dies ermöglicht es, Poincaré-Abbildungen experimentell durch Resonanzspektroskopie zu bestimmen.